Сообщение по математике про прогрессию в вирусах

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Вход Регистрация

Donate FAQ Правила Поиск

В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Вирус vs Бактерии (решение рекуррентного соотношения)

Последний раз редактировалось PAV 11.06.2011, 18:34, всего редактировалось 1 раз.

уточнил заголовок

М101. В колонию, состоящую из
бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем оба вируса и все оставшиеся бактерии снова делятся, и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго, или в конце концов погибнет?

Я составил реккурентность для бактерий (
) и вирусов (
):

Первая-то легко решается, а вторая не получается. Я пытался (как и с первой) развернуть её, но закономерности не получается что-то

Как её можно решить? (Я посчитал в вольфраме, он говорит
, но хочется самому это найти).

-- Вс июн 27, 2010 12:26:02 --

Если верить ответу Вольфрама, то получается на
-ой минуте все бактерии умрут? Т. е. поулчается вообще не зависит, сколько там бактерий было? Какой то странный результат. Было миллаард бактерий, пустили одного вируса и все через миллиард минут умрут

-- Вс июн 27, 2010 12:30:46 --

Я конечно понимаю, что вирусы в отличии от бактерий не дохнут. Т.е. их чсило только растёт. Но ведь же и бактерии тоже множаться. И тоже делением. Почему то интуитивно кажется, что бактерий всегда будет больше, хотя некоторую часть будут губить вирусы.

Последний раз редактировалось gris 27.06.2010, 12:54, всего редактировалось 2 раз(а).

А для понимания почему так происходит - рассмотрите долю вирусов в общей численности фигурантов.

Чем то слабо напоминает муху на резинке, правда там доля растёт гораздо медленнее, но тем не менее рано или поздно достигает 1.

Интересно рассмотреть непрерывный аналог задачи. Скорость размножения вирусов пропорциональна их количеству, для бактерий то же. Но бактерии ещё мрут со скоростью, пропорциональной количеству вирусов.
Систему ДУ. При разных коэффициентах пропорциональности ответ - .

gris
Меня интересует не доказательство
, а вывод.

Я имел ввиду, что независимо от числа бактерий, один вирус в конце концов угробит всю колонию.

-- Вс июн 27, 2010 12:39:05 --

Кстати, а можно решить задачу без применения реккурентностей? Т.е. чисто из рассуждений дать ответ на вопрос (там же не спрашивается на каккой минуте все бактерии умрут, надо лишь узнать умрут они вообще или нет)

совсем без рекуррентностей -- вряд ли. Но можно придумать более простые рекуррентности:

Т.е. отношение числа бактерий к числу вирусов убывает в арифметической прогрессии и, стало быть, рано или поздно исчезнет напрочь (и даже ясно, когда).

Все там будем

По поводу решения рекуррентного соотношения:
Сначала решите однородное реккурентное
, получится
. Далее метод вариации произвольной постоянной
, всё как в дифф.уравнениях.

Я диф. уравнения не знаю ещё :(

А вообще есть ли какой-нибудь общий метод для решения подобных простых реккурентностях. Я читал (немножко) Конкретную математику, там вот только 2 метода объясняется: 1) угадывание и доказывание 2) репертуарный метод. Но второй я не очень понял.

Поскольку речь о линейных рекуррентностях -- способ есть, и очень простой. У Вас линейное неоднородное разностное уравнение:
. Соответствующее однородное уравнение:
имеет общее решение
, где
-- произвольная постоянная. Согласно общей теории, общее решение неоднородного уравнения есть
, где
-- это хоть какое-то частное решение неоднородного уравнения. Его следует искать примерно в том же виде, что и "неоднородность"
в уравнении (в данном случае
), но более общем:
, где
-- неопределённый коэффициент. Подставляя это в уравнение, находим
. Точнее, так надо было бы делать, если бы основания геометрической прогрессии в
и в
были бы разными. А у нас оба они равны двойке ("резонанс"), поэтому (опять же согласно теории) выражение для частного решения надо дополнительно умножить на
, т.е. искать решение в виде
. Вот теперь всё получится. После подстановки окажется
, т.е.
. Наконец, произвольную постоянную
находим из начального условия:
, откуда
.

Всё это естественным образом обобщается на уравнения высших порядков (с несколькими слагаемыми
) и с неоднородностями
, представляющими собой произвольные комбинации разных степеней и геометрических прогрессий.

Там был ещё один. Суть его в том, что исходная реккурентность множится или делится на что-нибудь, в результате получается более простая реккурентность.

Для данной задачи: делим
на
(до этого легко догадаться), получаем
. Т. е. получается простая реккурентность относительно
:
, а значит
.

-- Пн июн 28, 2010 15:33:48 --

Пусть n(число бактерий)=4, v(число вирусов)=1
1-я минута: n=2(4-1)=6, v=2
2-я: n=2(6-2)=8, v=4
3-я n=2(8-4)=8, v=8
4-я n=2(8-8)=0, v=16

Поскольку колонии растут с одинаковой скоростью, начиная с начального состояния n и v, но только вирусы атакуют бактерии, а не наоборот, то таков результат.
Чтобы результат был другим, скорость роста колонии должна быть выше скорости ее поглощения. А здесь скорость ее поглощения постоянно увеличивается, а рост остается постоянным.

Обратите внимание, что в задаче ничего не спрашивается про цифры, только да или нет.

Описание презентации по отдельным слайдам:

Решите устно 1. Назовите первые четыре члена арифметической прогрессии. а1=4, d=7. 2. Назовите первый член и разность арифметической прогрессии. –7, –4, –1, … . 1. Назовите первый член и знаменатель геометрической прогрессии. 6; 3; 1,5; …. 2. Назовите первые четыре члена геометрической прогрессии. b1=–3, q= 2.

Работа в группах Задача 1 Вирусы гриппа размножаются очень быстро. Заболевший гриппом ученик, придя в школу, за 5 минут может заразить трех человек. В вашем классе всего 25 учащихся. Через 15 минут сколько учащихся будут заряжены вирусом гриппа.

Задача 2 В нашей Б-Баишевской школе необходимо распространить информацию. Распространение происходит по следующей схеме. Каждый ученик в течение минуты должен проинформировать 4 учеников. Первоначальной информацией владеют 2 ученика. Всего в нашей школе 149 учеников. Через какое время каждый ученик школы будет информирован?

Задача 3 В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. а)Сколько бактерий рождено на 5-й минуте от одной бактерии? б)Каково количество всех бактерий, рожденных одной бактерией за 5 минут?

Проверим знания теории. Прогрессии Арифметическая прогрессия Геометрическая прогрессия 1. Определение 2. Формула n-первых членов прогрессии 3. Сумма n-первых членов прогрессии 4. Свойства

основные задачи по формуле n-ого члена арифметической прогрессии 1. Найти а7, если а1=2, d=4. 2. Найти а1, если а7=18, d=–2. 3. Найти n, если аn=16, а1=–8, а2=–4. (d=4) (ГИА)

основные задачи по формуле n-ого члена геометрической прогрессии 1. Найти b3, если b1=2, q=3. 2. Найти q, если b1=1/2, b5=1/32; 3. Найти n, если bn=625, b1=5, b2=25. (q=5) (ГИА)

Прогрессио – движение вперед! будешь как я! Физкульт- минутка

Самостоятельная работа 1 вариант 1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии -2; -4; -8;… (3 балла) 2. Укажите сумму шести первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=81, q=1/3. (3 балла) 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена bn=5n-1. Найти S5. (4 балла) 4. Дополнительная задача. Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части. Сколько дрожжевых клеток стало после пятикратного деления, если первоначально их было 1 млн. ? Критерии оценки: 3–5 баллов — “3”, 6–8 баллов — “4”, 9 и более — “5”. 2 вариант 1. Найти сумму семи первых членов геометрической прогрессии, у которой b1=32, q=-2. (3 балла) 2. Укажите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 2;1; Ѕ ;… (3 балла) 3. Геометрическая прогрессия задана формулой n-го члена bn=3n. Вычислить S5. (4 балла) 4. Дополнительная задача. Каждое простейшее одноклеточное животное инфузория – туфелька размножается делением на 2 части. Сколько инфузорий стало после шестикратного деления, если первоначально их было 1000?

Сравни результаты 1 вариант 1) S7=- 254 2) S6=121 3) S5=781 4) 31 000 000 кл. 2 вариант 1) S7=1376 2) S5=3 3) S5=363 4) 63 000 инф.

Задача из ЕГЭ Допольнительная часть Юноша подарил девушке в первый день 3 цветка, а в каждый последующий день дарил на 2 цветка больше, чем в предыдущий день. Сколько денег он потратил на цветы за две недели, если один цветок стоит 10 рублей?

Решение 1. Пусть (кол-во цветов, купленных в 1-ый день), тогда (на столько юноша увеличивал каждый день кол-во купленных цветков). 2. Найдем (кол-во цветков, купленных за две недели): 3. Найдем количество потраченных денег на цветы: (руб) Ответ: юноша потратил за две недели 2240 рублей.

Из истории 5 век до н.э. – древние греки знают формулы суммы натуральных и четных натуральных последовательных чисел. 5 век н.э. – в Китае и Индии ученые знают формулу n-ого члена и суммы n первых членов арифметической прогрессии. Упоминание о геометрической прогрессии в легенде об изобретателе шахмат.

Сколько зерен попросил изобретатель шахмат у царя? Ответ : 18 квинтиллионов 500 квадриллионов, 18 446 744 073 709 551 615

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №4. Прогрессии и сложные проценты.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

- арифметическая и геометрическая прогрессии как функции от натурального аргумента;

- простые и сложные проценты.

Глоссарий по теме:

Прогрессия – последовательность величин, каждая следующая из которых находится в некой, общей для всей прогрессии, зависимости от предыдущей.

Рекуррентный – (лат. recurens возвращающийся). Рекуррентная последовательность - возвратная последовательность.

Колягин Ю. М., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Базовый и углублённый уровни. - М.: Просвещение, 2017.

Ткачева М. В., Федорова Н. Е. Алгебра и начала математического анализа. Тематические тесты. 10 класс. Базовый и профильный уровни.2016.

Шабунин М. И., Ткачева М. В., Фёдорова Н.Е. и др. Алгебра и начала математического анализа. Дидактические материалы. 10 класс. Профильный уровень.2016.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Часто при решении различных задач, как прикладных, так и теоретических, возникают последовательности. Это могут быть последовательности чисел или элементов какого-то другого множества.

Если каждому натуральному числу n ∈ N поставлен в соответствие какой-то элемент x_n из некоторого множества A, то говорят, что задана последовательность элементов множества A:

Функцию y = f(x), x ∈ N, называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают y = f(n) или
.

Задается формулой n-го члена:

Состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.

Состоит в том, что указывается правило, по которому вычисляют (n+1) -й член, если известен её предыдущий n-й член и задают 1-ый член последовательности.

Самый известный пример такой задачи – последовательность чисел Фибоначчи
.

Её специально изучают в математике, поскольку она обладает рядом интересных свойств. Фибоначчи – итальянский математик 13 века.

, если n = 3, 4,…

;

;

и т.д.

Задать последовательность Фибоначчи рекуррентно очень легко, а аналитически – очень трудно. n-е число Фибоначчи выражается через его порядковый номер следующей формулой:

Есть последовательности, отличающиеся особыми свойствами, например, арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии. Каждый член равен среднему арифметическому двух соседних членов.

числовая последовательность
, заданная рекуррентно

, где n = 2, 3…

- формула n-го члена арифметической прогрессии.

Геометрическая прогрессия - числовая последовательность
, заданная рекуррентно

, где n =2, 3, .

- формула n-го члена геометрической прогрессии

Свойства числовых последовательностей.

Последовательность
называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Определение 2. Последовательность <y_n> называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

1 тип. Найти % от числа.

2 тип. Найти число по его %.

3 тип. Найти %-ое отношение.

Алгоритм решения задач 1 и 2 типа.

- выразить % десятичной дробью, например, 0,25 = 25%

- умножить или разделить число на дробь.

Обратим внимание на банковские %. Простой процент – это начисление % на банковском счете за весь период хранения средств. Определяется в годовой процентной ставке.

Формула расчета простых процентов

– сумма вклада;

– первоначальный вклад;

р- процентная ставка;

n – срок кредита.

Формула расчета сложных процентов

Важно! При простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной системе в геометрической.

Для решения экономической задачи ЕГЭ можно использовать следующую формулу расчета ежемесячного платежа:

C — общая сумма кредита,

P — ежемесячный платеж,

n— срок, на который берется кредит.

Задания тренировочного модуля с разбором.

Найти концентрацию соли в растворе, если на 5 литров воды добавили 200 г соли.

Концентрацией вещества называют процентное отношение количества вещества и раствора. Например, смешаем 5 л (5 кг) воды и 200 г общая масса 5200 г. 200/5200·100=0,038
4% -й раствор соли.

Клиент может сделать вклад в банке в сумме 50000 рублей на 3 года по схеме простые % и сложные %. Банковская ставка 10% годовых. Какой вклад выгоднее и на сколько?

1 схема – простые %

Сумма вклада 50000 р

Ставка 10% годовых.

Через 1 год прибыль 50000×0,1=5000 р.

Спустя 3 года: 65000 р.

2 схема – сложные %.

Сумма вклада 50000 р

Ставка 10% годовых.

50000∙(1+0,1)3 =665500 р.

Спустя 3 года: 665500 р.

665500-65000=15500 рублей - на столько больше.

Детектив: откуда взялся COVID-19 и как перемещается (ENG)

Демография имеет значение (ENG)

Поскольку летальность COVID-19 значительно увеличивается с возрастом пациента, особенности возрастных структур населения могут оказывать значительный эффект на общую смертность от пандемии коронавируса. Демограф Илья Кашницкий оценил этот эффект и отобразил на карте различия в возрастных структурах населения регионов Европы.

За основу взяли данные о летальности пандемии в Италии — первой европейской стране, где ситуация начала развиваться очень быстро, и к 17 марта было зафиксировано уже 2003 смерти. Предположив, что во всех прочих регионах Европы летальность будет такой же как мы наблюдали в Италии, а общее число инфицированных достигнет 2/3 населения (цифра, о которой упоминала в своем обращении Ангела Меркель), рассчитали долю населения с повышенным риском умереть от пандемии. Надо отметить, что эта величина не претендует на роль сколько-нибудь точного прогноза финальной летальности. Допущения при расчетах очень значительны и маловероятны в долгосрочной перспективе. Однако, суть исследования — в сравнении возрастных структур населения. Различия между ними останутся неизменными, даже если повозрастная летальность от COVID-19 окажется существенно отличной от наблюдаемых сейчас в Италии величин, важно лишь, чтобы различия между возрастными группами оставались схожими.

Проведенный анализ позволяет выявить потенциально наиболее уязвимые регионы. Наибольшие потери населения из-за пандемии вероятны в странах и регионах с наиболее возрастным населением — Италия, Германия и Испания. Самый интересный вывод: несмотря на то, что сейчас наибольшее количество зарегистрированных случаев заражения и смертей концентрируется в больших городах, куда вирус пришел раньше, при масштабном неконтролируемом распространении наиболее проблемными станут отдаленные периферийные районы с наиболее пожилым населением. Это еще одна причина, почему карантинные меры, призванные растянуть во времени пик пандемии, чрезвычайно важны, особенно в странах Европы с относительно старым населением.

Источник: Kashnitsky, I. (2020). COVID-19 in unequally ageing European regions. OSF Preprint.

Экспоненциальный рост и эпидемии (ENG, RUS)

Математик объясняет, в какой момент нужно начинать беспокоиться. Эпидемия развивается экспоненциально — это значит умножение на какую-то константу (постоянный коэффициент).

Согласно данным на начало марта число случаев каждый день превышало число случаев в предыдущий день в 1,12—1,25 раз. Изменение количества зараженных изо дня в день складывается из трех цифр: количество зараженных в определенный день (N), среднее количество человек, с которым зараженный может контактировать в определенный день (E), и вероятность каждого контакта стать новым случаем заражения (p). Соответственно, по данным на 6 марта, в среднем каждые 16 дней количество зараженных увеличивалось в 10 раз. Но просто провести восходящий тренд недостаточно: в какой момент рост кривой должен остановиться. И важную роль начинают играть переменные E и p — они должны снижаться, чтобы остановить экспоненциальный рост.

Интерактивная модель: как распространяется вирус (ENG)

У The Washington Post вышел интерактивный материал о том, как распространяются инфекции. Основная идея — показать, почему важно ограничивать контакты каждого конкретного человека с внешним миром, а вот закрывать города и страны совсем необязательно. Симуляции показывают, как изменяется кривая количества зараженных в зависимости от того, какая стратегия используется: не делать ничего; попытка закрыть город на карантин; социальная изоляция четверти населения; социальная изоляция 7/8 населения.

Мягкая изоляция выигрывает у карантина, а почти полная изоляция — статистически наиболее надежный способ остановить эпидемию. Симуляции случайные, каждое прочтение статьи даст немного разные результаты, но вывод останется прежним.

Блогер Кевин Симлер улучшил эту модель: он добавил новые вводные (например, инкубационный период и количество умерших от болезни) и параметры модели, которые можно настраивать вручную. Здесь по шагам объясняется, как распространяется вирус и какие переменные на это влияют: например, в одной из симуляций предлагается угадать, какой должна быть скорость передачи заболевания между людьми, чтобы она не успела заразить все население планеты.

Так что это не только подробное пошаговое объяснение того, как распространяется вирус, но еще и упражнение в интуиции и критическом мышлении.

Люди хотят закрытия границ (RUS)

По данным исследования Ipsos по восприятию коронавируса, большинство людей считают, что границы их стран должны быть закрыты до тех пор, пока не будет локализована эпидемия. В опросе приняли участие 12 000 человек из 12 стран. Жители Азиатско-Тихоокеанского региона активнее всех поддерживают идею закрытия границ — во главе с Индией (79%) и Вьетнамом (78%) — что неудивительно, учитывая локацию, в которой болезнь была обнаружена впервые. В Италии 76% также согласны с этой радикальной мерой. Далее следуют Китай (73%) и Россия (70%).

Растет количество человек, которые верят в вероятность заражения людей из их ближнего окружения: их уже больше половины респондентов во Вьетнаме (67%), Великобритании (57%), половина в Индии, Австралии и Японии (51%).

Что ученые знают о 2019-nCoV (RUS)

Сейчас идет разработка лекарств, которые ингибируют заражение на разных стадиях цикла репликации вируса, и вакцин от SARS-CoV/MERS-CoV. Однако пока специфических препаратов от коронавирусов нет, и лечение заключается в поддерживающей терапии, назначенной по состоянию пациента. Источник на 11 марта 2020 года.

Материал обновляется.