Математическая модель развития эпидемии коронавируса

Детектив: откуда взялся COVID-19 и как перемещается (ENG)

Демография имеет значение (ENG)

Поскольку летальность COVID-19 значительно увеличивается с возрастом пациента, особенности возрастных структур населения могут оказывать значительный эффект на общую смертность от пандемии коронавируса. Демограф Илья Кашницкий оценил этот эффект и отобразил на карте различия в возрастных структурах населения регионов Европы.

За основу взяли данные о летальности пандемии в Италии — первой европейской стране, где ситуация начала развиваться очень быстро, и к 17 марта было зафиксировано уже 2003 смерти. Предположив, что во всех прочих регионах Европы летальность будет такой же как мы наблюдали в Италии, а общее число инфицированных достигнет 2/3 населения (цифра, о которой упоминала в своем обращении Ангела Меркель), рассчитали долю населения с повышенным риском умереть от пандемии. Надо отметить, что эта величина не претендует на роль сколько-нибудь точного прогноза финальной летальности. Допущения при расчетах очень значительны и маловероятны в долгосрочной перспективе. Однако, суть исследования — в сравнении возрастных структур населения. Различия между ними останутся неизменными, даже если повозрастная летальность от COVID-19 окажется существенно отличной от наблюдаемых сейчас в Италии величин, важно лишь, чтобы различия между возрастными группами оставались схожими.

Проведенный анализ позволяет выявить потенциально наиболее уязвимые регионы. Наибольшие потери населения из-за пандемии вероятны в странах и регионах с наиболее возрастным населением — Италия, Германия и Испания. Самый интересный вывод: несмотря на то, что сейчас наибольшее количество зарегистрированных случаев заражения и смертей концентрируется в больших городах, куда вирус пришел раньше, при масштабном неконтролируемом распространении наиболее проблемными станут отдаленные периферийные районы с наиболее пожилым населением. Это еще одна причина, почему карантинные меры, призванные растянуть во времени пик пандемии, чрезвычайно важны, особенно в странах Европы с относительно старым населением.

Источник: Kashnitsky, I. (2020). COVID-19 in unequally ageing European regions. OSF Preprint.

Экспоненциальный рост и эпидемии (ENG, RUS)

Математик объясняет, в какой момент нужно начинать беспокоиться. Эпидемия развивается экспоненциально — это значит умножение на какую-то константу (постоянный коэффициент).

Согласно данным на начало марта число случаев каждый день превышало число случаев в предыдущий день в 1,12—1,25 раз. Изменение количества зараженных изо дня в день складывается из трех цифр: количество зараженных в определенный день (N), среднее количество человек, с которым зараженный может контактировать в определенный день (E), и вероятность каждого контакта стать новым случаем заражения (p). Соответственно, по данным на 6 марта, в среднем каждые 16 дней количество зараженных увеличивалось в 10 раз. Но просто провести восходящий тренд недостаточно: в какой момент рост кривой должен остановиться. И важную роль начинают играть переменные E и p — они должны снижаться, чтобы остановить экспоненциальный рост.

Интерактивная модель: как распространяется вирус (ENG)

У The Washington Post вышел интерактивный материал о том, как распространяются инфекции. Основная идея — показать, почему важно ограничивать контакты каждого конкретного человека с внешним миром, а вот закрывать города и страны совсем необязательно. Симуляции показывают, как изменяется кривая количества зараженных в зависимости от того, какая стратегия используется: не делать ничего; попытка закрыть город на карантин; социальная изоляция четверти населения; социальная изоляция 7/8 населения.

Мягкая изоляция выигрывает у карантина, а почти полная изоляция — статистически наиболее надежный способ остановить эпидемию. Симуляции случайные, каждое прочтение статьи даст немного разные результаты, но вывод останется прежним.

Блогер Кевин Симлер улучшил эту модель: он добавил новые вводные (например, инкубационный период и количество умерших от болезни) и параметры модели, которые можно настраивать вручную. Здесь по шагам объясняется, как распространяется вирус и какие переменные на это влияют: например, в одной из симуляций предлагается угадать, какой должна быть скорость передачи заболевания между людьми, чтобы она не успела заразить все население планеты.

Так что это не только подробное пошаговое объяснение того, как распространяется вирус, но еще и упражнение в интуиции и критическом мышлении.

Люди хотят закрытия границ (RUS)

По данным исследования Ipsos по восприятию коронавируса, большинство людей считают, что границы их стран должны быть закрыты до тех пор, пока не будет локализована эпидемия. В опросе приняли участие 12 000 человек из 12 стран. Жители Азиатско-Тихоокеанского региона активнее всех поддерживают идею закрытия границ — во главе с Индией (79%) и Вьетнамом (78%) — что неудивительно, учитывая локацию, в которой болезнь была обнаружена впервые. В Италии 76% также согласны с этой радикальной мерой. Далее следуют Китай (73%) и Россия (70%).

Растет количество человек, которые верят в вероятность заражения людей из их ближнего окружения: их уже больше половины респондентов во Вьетнаме (67%), Великобритании (57%), половина в Индии, Австралии и Японии (51%).

Что ученые знают о 2019-nCoV (RUS)

Сейчас идет разработка лекарств, которые ингибируют заражение на разных стадиях цикла репликации вируса, и вакцин от SARS-CoV/MERS-CoV. Однако пока специфических препаратов от коронавирусов нет, и лечение заключается в поддерживающей терапии, назначенной по состоянию пациента. Источник на 11 марта 2020 года.

Материал обновляется.

— Пока мы не можем говорить о каком-то ярко выраженном сценарии для нашей страны. Если ориентироваться на показатели заражения, смертности и выздоровления, то Россия на текущий момент близка к Восточной Европе и Скандинавии. Опасные тенденции, характерные для стран Западной Европы и США, не наблюдаются.

Коронавирусом в мире поражены практически все государства, но явно негативная картина наблюдается примерно в десяти странах. В их число Россия не входит и, при условии соблюдения необходимых мер безопасности, не войдёт.

Если же внимательнее проанализировать официальную статистику смертей от COVID-19, то более половины всех случаев приходится на Италию, Испанию и США.

— Какие существуют математические модели для прогнозов по распространению вирусов и для эпидемий в общем?

— Математический аппарат для моделирования эпидемий очень разнообразен. Самые простые, но и наименее точные модели основаны на экстраполяции имеющихся данных по заболеваемости с помощью методов регрессии, то есть изучения влияния одной или нескольких независимых переменных на зависимую переменную. Более убедительные модели описывают причинно-следственные связи возникновения и развития заболеваний в форме последовательности промежуточных состояний.

— В СМИ сейчас активно обсуждается математическая модель SEIR, доработанная для пандемии COVID-19. Что можете сказать о её точности? Какие модели использует ваша команда?

— Упомянутая вами модель SEIR рассматривает всего четыре возможных состояния человека: S — здоровый, E — заражённый в инкубационном периоде или бессимптомный, I — заражённый в активной стадии болезни и R — умерший или выздоровевший с иммунитетом (в зависимости от интерпретации). Вместе с коллегами, Сергеем Ивановым и Василием Леоненко, сотрудниками Национального центра когнитивных разработок Университета ИТМО, мы разработали эпидемиологические модели с более чем двадцатью состояниями, учитывающими разнообразие структуры социальных контактов. В целом количество состояний определяет степень детализации, необходимую для описания путей распространения того или иного заболевания.

— Можно ли говорить о том, то ваша модель расчётов наиболее эффективна?

— Какие факторы имеют самый большой вес при расчётах? Готовность системы здравоохранения, плотность населения, ответственность граждан, решительные действия властей?

— На этот вопрос нет однозначного ответа. В целом для возбудителей, передающихся воздушно-капельным и контактно-бытовым путём, к которым относится и COVID-19, основными являются факторы биологической природы заболевания: вирулентность, продолжительность инкубационного и инфекционного периодов, уровень смертности. Также важны свойства популяции, в которой протекает болезнь: общая численность, уровень иммунитета, возрастная структура и количество контактов.

Эпидемиологических моделей недостаточно для количественного анализа факторов, ведь распространение инфекции — социальный процесс. Особенно это важно для коронавируса, поскольку его распространяют в основном бессимптомные носители.

— Используются какие-то дополнительные модели?

— Параллельно с эпидемиологической моделью используется модель, описывающая повседневную жизнь и активность населения, так называемое виртуальное общество. Такую модель мы разработали в Институте дизайна и урбанистики Университета ИТМО для Санкт-Петербурга при поддержке Российского научного фонда. Она позволяет воспроизвести распределение плотности населения города в течение суток и оценить структуру контактов между людьми на дому, на работе, в магазине, в транспорте.

— Существуют ли модели расчётов эффективности разных по строгости режимов: ограничения передвижения, самоизоляции, карантина и ЧС?

— Подобные расчёты выполняются разными научными коллективами и обычно не совпадают количественно. При этом они демонстрируют понятную тенденцию — чем меньше контактов, тем меньше заражённых. Однако на основе модели виртуального общества можно управлять различными социальными механизмами таких контактов.

— Как влияет социальная активность отдельного человека на общую картину?

— Приём разделения на группы эффективно работает даже против суперраспространителей и нарушителей карантина. Они будут неспособны заметно повлиять на эпидемиологическую обстановку в целом. Однако в силу недостаточной изученности коронавируса сложно определить характеристики структуры социальных связей, ограничивающей развитие эпидемии. При этом, судя по аналогичным случаям и опыту других стран, принимаемые в России меры позволяют надеяться на лучшее.

— Как рассчитываются последствия? Когда будет пик, спад эпидемии в России?

Эпидемия идёт на спад, когда каждый заражённый инфицирует менее одного здорового. Этот процесс неизбежен, в первую очередь, в силу биологических причин, таких как постепенная иммунизация общества или ослабление самого вируса, которому для своего выживания и распространения убивать своего носителя совершенно невыгодно.

— Есть ли модели расчёта появления подобных бедствий, их предупреждения? Может ли ваша работа помочь устранить такие угрозы на старте?

— Сам факт появления таких бедствий заранее выявить достаточно сложно. Обычно для этого используются весьма общие модели эволюции сложных систем. Они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями и способны иногда демонстрировать хаотическое поведение, которое и считается началом какого-либо бедствия: эпидемии, финансового кризиса или революции. Основное внимание уделяют раннему обнаружению так называемых критических точек, когда система находится в переходном состоянии и достаточно лёгкого толчка, чтобы отправить её в кризис, который не остановить.

— Прежде всего, в ситуации с COVID-19 ярко проявилась проблема противопоставления личности и общества. Во всех странах предписания по самоизоляции выполняются не всеми и не всегда. При этом консолидация общества в части минимизации социальных связей позволяет компенсировать действия нарушителей, и эпидемия распространяется в значительно меньших масштабах. Однако никому не следует расслабляться, так как от таких действий страдают именно нарушители, которые первыми становятся жертвами инфекции.

Другая тенденция, с которой мы столкнулись, следует из логики науки о глобальных системах. Она описывает каскады критических эффектов, возникающих в нескольких связанных сложных системах. Например, когда быстрое распространение эпидемии через социальные связи порождает снижение логистической активности и одновременную перегрузку цифровых сетей.

Можно смоделировать ситуацию, как эпидемия поведет себя дальше?

Карима Нигматулина-Мащицкая: Будет нескольких пиков заболеваемости, первая вспышка - в Москве, остальные с небольшим запозданием - в других городах. Это объясняется большой территорией и географической разрозненностью. Зато мы можем себе позволить не вводить жесткие меры сразу во всей стране, а ограничиться отдельными регионами, что в целом гораздо лучше для экономической ситуации.

То, что все сейчас находятся дома, что закрыты места массовых скоплений людей, очень важно для сокращения динамики распространения инфекции. Это позволит сократить количество больных и спасет людям жизни.

Один заболевший способен заразить до четырех человек вокруг себя. COVID-19 имеет очень большое количество бессимптомных носителей. Как это влияет на математические прогнозы?

Карима Нигматулина-Мащицкая: 20-30% населения переносят заболевание совсем без симптомов. Эти люди не знают, что они распространяют вирус. У них нет температуры, не болит голова, ровное дыхание, нет признаков ОРВИ. Они чувствуют себя хорошо, поэтому живут полноценной жизнью, но при этом заражают других. Важно учитывать, что такие люди есть. Поэтому, если мы говорим о подтвержденных 8000 заболевших с симптомами, то заразных людей на самом деле ближе к 11 000-12 000, а учитывая, что часть с симптомами еще не были диагностированы, то цифры еще выше.

У математиков, которые занимаются инфекционным моделированием, есть такое понятие, как основное репродуктивное число. Оно подразумевает, сколько в среднем может заразить один инфицированный человек в населении без иммунитета. Для COVID-19 это число составляет от 2 до 4. Очевидно, что если оно больше единицы, то болезнь разрастается экспоненциально. Но мы можем повлиять на это число, которое, в частности, зависит от количества контактов инфицированного человека. Мы понимаем, если их 30 за тот момент, когда он болеет, а вероятность того, что заболевание будет распространено при одном контакте - 10%, то репродуктивное число в этом случае будет три. Но если этот человек сократит число контактов до пяти, то репродуктивное число опускается до 0,5, и постепенно эпидемия будет угасать.

Сейчас люди соблюдают режим самоизоляции, число контактов сокращается. Но 0,5 - еще не ноль. Это означает, что за один цикл болезни от 12 тысяч человек заразятся еще шесть тысяч человек. То есть эта цифра не сократится до ноля. И вот здесь важно понимать - 12 000 или 8000 заразных людей на самом деле, потому что от этого зависит, насколько растянется период угасания заболеваемости.

Когда ждать окончания пандемии?

Карима Нигматулина-Мащицкая: Окончательно и бесповоротно пандемия завершится, когда будет разработана вакцина. Причем, не сто процентов населения должны быть привиты для того, чтобы затормозить это заболевание. Есть такое понятие, как "коллективный иммунитет", и оно коррелирует репродуктивному числу. Если иммунитет к вирусу будет у 70% населения, то болезнь перестанет распространяться даже при полностью активном обществе.

Без вакцины погасили вспышку СOVID-19 в Китае. Но там на достаточно раннем этапе были предприняты очень активные и жесткие меры, которые смогли поменять ситуацию в корне. Если не остановить болезнь вовремя, то пытаться удержать ее, когда количество больных зашкаливает за тысячи, становится очень сложно, как на восточном побережье США.

Не рано Китай отменил жесткие меры в своей стране? Может там быть вторая вспышка коронавируса?

Карима Нигматулина-Мащицкая: Однозначно предсказать вторую волну сейчас невозможно, можно только смоделировать вероятностные ситуации. Остается держать руку на пульсе, и если появится хоть один новый случай в новом регионе, то своевременно реагировать. Только жесткое реагирование быстро сократит этот один случай, вернет его к нулю.

В Европе уже затухает заболеваемость?

Карима Нигматулина-Мащицкая: Конечно, мы видим, что ситуация потихонечку начинает улучшаться. Количество случаев заражения сокращается, в том числе - из-за предпринятых мер. В какой-то момент очень строгие режимы можно будет отменять. Но делать это слишком рано тоже было бы достаточно опасно.

Если математическими расчетами можно спрогнозировать, как поведет себя пандемия, то какие исходные данные для этого нужны?

Карима Нигматулина-Мащицкая: Математическое моделирование пандемии и любых инфекционных заболеваний основывается на данных о людях. Необходимо понимать, как распределяется население по земному шару, знать демографическую ситуацию, основные миграционные потоки. Глобальное передвижение людей легко вычислить, изучив данные авиаперевозчиков и миграционную статистику. Гораздо сложнее получить сведения о перемещении людей внутри городов, которые тоже очень важны.

В свое время я изучала направление инфекционных заболеваний в Африке, где достоверную статистическую информацию найти практически невозможно. Мы договаривались с мобильными операторами, которые передавали нам анонимизированные данные о передвижении людей внутри городов, которые позволяли нам откалибровать модель на локальном уровне. То есть то, где живут люди и как они передвигаются - это фундамент, с помощью которого математики могут моделировать развитие эпидемий и пандемий.

Еще один фактор - специфика болезни, как она протекает: с какой скоростью развивается заболевание от момента инфекции, в том числе, как быстро зараженный человек становится заразным для других. Мы понимаем, что если при гриппе инкубационный период длится всего три дня, то для COVID-19 он более затяжной, потому что у него иная динамика распространения заболевания.

Можно было предотвратить попадание COVID-19 в Россию? Изначально он обошел нашу страну, у которой довольно протяженная граница с Китаем, а когда число заболевших резко увеличивалось в США и Европе, у нас еще никто не болел.

Карима Нигматулина-Мащицкая: Наибольшее количество транспортных потоков у России именно с Европой, а не с Китаем. Поэтому все достаточно прогнозируемо. Предотвратимо ли заболевание? На самом деле вопрос очень сложный. Я хорошо помню, когда в 2003 году в странах Юго-Восточной Азии разрасталась эпидемия атипичной пневмонии - SARS, и количество больных было уже под 5 тысяч, в конце концов - эпидемия прекратилась сама собой. В 2009 году началась вспышка свиного гриппа, и тогда тоже говорили, что Всемирная организация здравоохранения слишком сильно паникует, не нужно переживать, все не так серьезно. Предсказание пандемий и их масштабности на самых ранних этапах очень затруднительно. При моделировании начальных стадий все модели - вероятностные, они не дают 100-процентную гарантию. Считаю, что в нашей стране меры приняты были своевременно, мы не стали дожидаться, когда количество случаев заражения достигнет тысячи или даже сотни. И это очень правильно.

Коронавирусом в мире поражены практически все государства, но явно негативная картина наблюдается примерно в десяти странах. В их число Россия не входит и, при условии соблюдения необходимых мер безопасности, не войдёт.

— Какие существуют математические модели для прогнозов по распространению вирусов и для эпидемий в общем?

— Можно ли говорить о том, то ваша модель расчётов наиболее эффективна?

— Используются какие-то дополнительные модели?

— Как влияет социальная активность отдельного человека на общую картину?

— Как рассчитываются последствия? Когда будет пик, спад эпидемии в России?

Прогнозы развития эпидемии коронавируса в мире есть. Они основаны на математических моделях.

Модели учитывают параметры распространения и протекания болезни, особенности конкретного региона, принятые государствами административные меры и наличествующие медицинские мощности.

Матемтические модели спрогнозировали, сколько людей в конкретном регионе переболеет, сколько из них умрет и когда эпидемия закончится. Но, по словам вице-премьера Татьяны Голиковой, имевшиеся математические модели не дали сколько-нибудь точных прогнозов.

"На начальной стадии развития заболевания у нас на территории России мы взяли все имеющиеся в арсенале у мира математические модели, которые они используют, и просчитали возможные прогнозы развития ситуации у нас на территории. И потом у нас была возможность понять, сбылись или не сбылись (прогнозы - ред.). Вот я вам хочу сказать, ни один прогноз по всем использованным нами моделям не подтвердился по истечению времени, потому что ни одна математическая модель на сегодняшний день не может полностью учесть в себе влияние тех мер, которые принимает та или иная страна для купирования развития ситуации. Ну и, безусловно, каждая популяция имеет свои особенности с точки зря течения заболевания", – сказала Голикова на брифинге в субботу 4 апреля.

Согласно этой модели, пик числа новых инфицированных в сутки возникает примерно на 9 –12 день карантина. Так было и в Китае, и в Италии. Исходя из этих данных, с помощью машинного обучения было подсчитано, что с учетом введения карантина в Москве число новых заболевших в день достигнет пика примерно 9 апреля, находящихся в стадии болезни – 17 апреля. Новые случаи в российской столице прекратят фиксировать лишь к концу апреля.

Реальная картина роста заболеваемости коронавирусом в России, Москве и Подмосковье видна на графике, представленном Наталией Теряевой и Олегом Теряевым на логарифмической шкале. График основан на официальных данных Роспотребнадзора.

Из графика заболеваемости с логарифмической шкалой видно, что линии роста заболеваемости близки к прямым. Значит, функция роста заболеваемости, к сожалению. пока близка к показательной y = 2 x . То есть количество заболевших удваивается каждые несколько дней. Скорость удвоения количества заболевших составляет c 26 марта по сегодняшний день в России – примерно 4 дня, по Москве – 3,81 дня, по России без Москвы – 4,48 дня, по Подмосковью – 3,74 дня.

То есть заболеваемость в Москве растет чуть быстрее, чем в России без Москвы, а в Подмосковье растет чуть быстрее, чем в Москве.

При этом последние два дня (3 и 4 апреля) верхние три линии становятся чуть более пологими, что может указывать на спад скорости распространения инфекции в России и в Москве.

В Подмосковье такого спада нет. Интенсивный рост заболеваемости здесь дают города, граничащие с Москвой: Одинцово, Красногорск, Ленинский, Люберцы, Химки, Раменское, Мытищи.

Из графиков видно, что с 18 до 22 марта скорость прироста количества заболевших по Москве и по России без Москвы менялась. Москва и Россия по очереди вырывались вперед по скорости распространения заболевания. В то же время в Подмосковье до 21 марта был скачок скорости увеличения количества заболевших, а потом образовалось плато с нулевой скоростью на целых три дня.

Скорее всего, такая картина показывает, что скорость распространения заболевания в этот период сильно зависела от количества проведенных тестов на коронавирус.

С 24 марта, когда тестирование охватило значительно большее количество участников, три верхние кривые (Россия, Москва, Россия без Москвы) пошли вверх с довольно близкой скоростью.

Если считать, что инкубационный период коронавируса составляет 14 дней, то на положительный эффект самоизоляции на графике могут указывать только последние три дня – с 26 марта до сегодняшнего дня прошло 11 дней. Не забудем, что школьников Москвы и Подмосковья отправили на свободный режим посещения школ еще 23 марта, и эта мера могла немного уменьшить скорость распространения заразы до 26 марта, если ее не компенсировали шашлычники в выходные 28 – 29 марта.

Чем круче кривые на логарифмическом графике, тем более взрывной рост распространения инфекции мы можем наблюдать. Остановить этот рост могут упреждающие меры – в том числе, самоизоляция или карантин.

По сегодняшним данным заболеваемости коронавирусом в России (+954 по России, +591 по Москве, +82 по Московской области, +363 по России без Москвы) видно, что для Москвы наклон кривой не изменился – скорость распространения сохраняется: удвоение количества заболевших каждые четыре дня.

По России без Москвы и по Подмосковью наклон кривой за последние сутки стал круче.

С 1 по 5 апреля в Подмосковье удвоение количества забо левших происходило примерно раз в три с половиной дня. Сегодня скорость распространения инфекции в Подмосковье скакнула до удвоения ежедневного количества заболевших всего за день и удвоения общего количества заболевших менее, чем за три дня. За вчерашний день в Подмосковье умерли от коронавируса 5 человек.

По России без Москвы ежедневное количество заболевших возросло в три раза.

Возможно, это случайная флуктуация. Но это, в любом случае, – тревожный сигнал, который, скорее всего связан c плохо контролируемым завозом инфекции в регион из Москвы.

Если кривые на графике продлить влево до пересечения с осью абсцисс, то можно определить период начала эпидемии, когда заразившиеся уже были, а регистрировать их еще не начали. Это примерно двадцатые числа февраля.

Исходя из инкубационного периода и даты всеобщего карантина 28 марта, пик заболеваемости коронавирусом в Москве действительно должен быть достигнут около 9 апреля. В Подмосковье этот пик может быть сдвинут на более поздний срок, т.к. москвичи и после 28 марта активно заражали жителей Московской области, перемещаясь на дачи и в загородные доам и квартиры.

Так что по самым оптимистичным прогнозам, по крайней мере в Москве, эпидемия пойдет на спад примерно к майским праздникам. Однако карантинные меры, если власти последуют уханьскому опыту, отменят далеко не сразу. Стоит ожидать, что из-за вероятной угрозы возвращения эпидемии меры социального дистанцирования будут сохраняться достаточно долго.

В этом году окончательного обуздания COVID-19 ждать не приходится. Но в ближайшие месяцы ученые смогут собрать необходимые данные для выработки стратегии борьбы с тяжелым заболеванием, и по крайней мере у нас появится какая-то определенность.

Глава специальной экспертной комиссии Госкомитета по вопросам здравоохранения КНР Чжун Наньшань ранее заявлял, что пандемия коронавирусной инфекции COVID-19 в мире может пойти на спад к июню 2020 года, но если отдельные страны не введут карантин, то дольше.

Читайте также: